介值定理定义：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C (a<ξ<b)。
如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根。
介值定理应用：
证明：将f作为圆上的任何连续函数。在圆的中心绘制一条线，在两个相对的点A和B处与其相交。令d由差 定义。如果线旋转180度，将取代值-d。由于介值定理，必须有一些中间旋转角，其中d = 0，因此在该角度。
对于任何封闭的凸n（n>1）尺寸形状。具体来说，对于其领域是给定形状的任何连续函数，以及形状（不一定是其中心）内的任何点，相对于函数值相同的给定点存在两个对象点。证明与上述相同。
这个定理也是为什么旋转摇摆表将使其变得稳定的解释（受到某些容易遇到的限制）。
介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。
在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。
如果一个连续函数在区间内有相反符号的值，那么它在该区间内有根存在（博尔扎诺定理）。
扩展资料：
考虑实数域上的区间 以及在此区间上的连续函数 。
（1）如果u是在a和b之间的数，也就是说：那么，存在 使得 。
（2）值域 也是一个区间，或者它包含 ，或者它包含 。
例如，对于x>0和f（0）= 0，取 定义的函数 在x = 0时连续，这个函数在x=0处不连续，但是该函数具有介值属性。
历史上，这个介值属性被建议为实数函数连续性的定义，但这个定义没有被采纳。
Darboux定理指出，由某些区间上某些其他函数的区分产生的所有函数都具有介值属性（尽管它们不需要连续）。
参考资料来源：百度百科——介值定理
介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。
如果一个连续函数在区间内有相反符号的值，那么它在该区间内有根存在（博尔扎诺定理）。
历史
对于上面的u = 0，该声明也称为博尔扎诺定理。这个定理在1817年被伯纳德·博尔扎诺（Bernard Bolzano）首次证明。
奥古斯丁－路易·柯西在1821年提供了一个证据。两者的灵感来自于对约瑟夫·路易斯拉格朗日函数的分析正式化的目标。连续函数具有中间值的想法早有起源。西蒙·斯蒂文通过提供用于构造解的十进制扩展的算法，证明了多项式的介值定理（以立方为例）。
参考资料来源：百度百科-介值定理
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