有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。
1、有界数列的定义：
若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M 其中M是与n无关的常数 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界，对一切n 有Xn≥m 其中m是与n无关的常数 称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界，一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。
2、有界数列的证明：
∵ 数列{Xn}是收敛的
∴ 设其极限为a
根据数列极限的定义，对于ε=1，存在正整数N
当n>N是不等式|Xn-a|N时，|Xn|=|(Xn-a)+a|
证毕。
3、有界数列示例：
（1）1，2，3，4
（2）{1/n}，n=1，2，3...
扩展资料：
1、有界数列的应用:
数列有极限的必要条件：
数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界=>数列有极限。
2、函数的有界性：
函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
3、函数有界性的要点：
（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；
（2）从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。
参考资料来源：百度百科 - 有界数列
参考资料来源：百度百科 - 有界性
有界数列是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。
若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M（其中M是与n无关的常数） 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。
对一切n 有Xn≥m（其中m是与n无关的常数）称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界。
关于函数的有界性．应注意以下两点：
(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一。
(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界，如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。
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